Aljabar Linear Contoh

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinan (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

3

$3$ adalah matriks persegi

3 \times 3

$3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

p (λ) = determinan (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$ untuk

A

$A$ .

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ I_{3} ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 3.2

Substitusikan

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk

I_{3}

$I_{3}$ .

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan

- λ

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Langkah 4.1.2.3

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Langkah 4.1.2.4

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.8.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tambahkan

$49$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Langkah 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Langkah 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Langkah 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Langkah 5.2

Kalikan

$0$ dengan

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Langkah 5.3

Kalikan

$0$ dengan

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 5.4

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Perluas

$(4 - λ) (4 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.2.1.1

Kalikan

$4$ dengan

$4$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$4$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.3

Kalikan

$4$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.5

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.2.1.5.1

Pindahkan

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.5.2

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.6

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.7

Kalikan

$λ^{2}$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.2

Kurangi

$4 λ$ dengan

$- 4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Langkah 5.4.2.1.3

Kalikan

$- 49$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49) + 0$

Langkah 5.4.2.2

Kurangi

$49$ dengan

$16$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} - 33) + 0$

Langkah 5.4.2.3

Susun kembali

$- 8 λ$ dan

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

Langkah 5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Gabungkan suku balikan dalam

$0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Tambahkan

$0$ dan

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

Langkah 5.5.1.2

Tambahkan

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ dan

$0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$

Langkah 5.5.2

Perluas

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Kalikan

$- 8$ dengan

$3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.2

Kalikan

$3$ dengan

$- 33$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.3

Kalikan

$λ$ dengan

$λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.3.1

Pindahkan

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.3.2

Kalikan

$λ^{2}$ dengan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.3.2.1

Naikkan

$λ$ menjadi pangkat

$1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.3.3

Tambahkan

$2$ dan

$1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.5

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.5.1

Pindahkan

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.5.2

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.6

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

Langkah 5.5.3.7

Kalikan

$- 33$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} + 33 λ$

Langkah 5.5.4

Tambahkan

$3 λ^{2}$ dan

$8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 33 λ$

Langkah 5.5.5

Tambahkan

$- 24 λ$ dan

$33 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - 99 - λ^{3}$

Langkah 5.5.6

Pindahkan

$- 99$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - λ^{3} - 99$

Langkah 5.5.7

Pindahkan

$9 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} + 9 λ - 99$

Langkah 5.5.8

Susun kembali

$11 λ^{2}$ dan

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

$0$ untuk menemukan nilai eigen

$λ$ .

$- λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99 = 0$

Langkah 7

Selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(- λ^{3} + 11 λ^{2}) + 9 λ - 99 = 0$

Langkah 7.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$λ^{2} (- λ + 11) - 9 (- λ + 11) = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar,

$- λ + 11$ .

$(- λ + 11) (λ^{2} - 9) = 0$

Langkah 7.1.3

Tulis kembali

$9$ sebagai

$3^{2}$ .

$(- λ + 11) (λ^{2} - 3^{2}) = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana

$a = λ$ dan

$b = 3$ .

$(- λ + 11) ((λ + 3) (λ - 3)) = 0$

Langkah 7.1.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$- λ + 11 = 0$

$λ + 3 = 0$

$λ - 3 = 0$

Langkah 7.3

Atur

$- λ + 11$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur

$- λ + 11$ sama dengan

$0$ .

$- λ + 11 = 0$

Langkah 7.3.2

Selesaikan

$- λ + 11 = 0$ untuk

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kurangkan

$11$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- λ = - 11$

Langkah 7.3.2.2

Bagi setiap suku pada

$- λ = - 11$ dengan

$- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di

$- λ = - 11$ dengan

$- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 11}{- 1}$

Langkah 7.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 11}{- 1}$

Langkah 7.3.2.2.2.2

Bagilah

$λ$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{- 11}{- 1}$

Langkah 7.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.3.1

Bagilah

$- 11$ dengan

$- 1$ .

$λ = 11$

Langkah 7.4

Atur

$λ + 3$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur

$λ + 3$ sama dengan

$0$ .

$λ + 3 = 0$

Langkah 7.4.2

Kurangkan

$3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$λ = - 3$

Langkah 7.5

Atur

$λ - 3$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur

$λ - 3$ sama dengan

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Langkah 7.5.2

Tambahkan

$3$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 3$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$ benar.

$λ = 11, - 3, 3$